IT-garden

문제

상근이의 여동생 상냥이는 문방구에서 스티커 2n개를 구매했다. 스티커는 그림 (a)와 같이 2행 n열로 배치되어 있다. 상냥이는 스티커를 이용해 책상을 꾸미려고 한다.

상냥이가 구매한 스티커의 품질은 매우 좋지 않다. 스티커 한 장을 떼면, 그 스티커와 변을 공유하는 스티커는 모두 찢어져서 사용할 수 없게 된다. 즉, 뗀 스티커의 왼쪽, 오른쪽, 위, 아래에 있는 스티커는 사용할 수 없게 된다.

모든 스티커를 붙일 수 없게된 상냥이는 각 스티커에 점수를 매기고, 점수의 합이 최대가 되게 스티커를 떼어내려고 한다. 먼저, 그림 (b)와 같이 각 스티커에 점수를 매겼다. 상냥이가 뗄 수 있는 스티커의 점수의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하시오. 즉, 2n개의 스티커 중에서 점수의 합이 최대가 되면서 서로 변을 공유 하지 않는 스티커 집합을 구해야 한다.

위의 그림의 경우에 점수가 50, 50, 100, 60인 스티커를 고르면, 점수는 260이 되고 이 것이 최대 점수이다. 가장 높은 점수를 가지는 두 스티커 (100과 70)은 변을 공유하기 때문에, 동시에 뗄 수 없다.

입력

첫째 줄에 테스트 케이스의 개수 T가 주어진다. 각 테스트 케이스의 첫째 줄에는 n (1 ≤ n ≤ 100,000)이 주어진다. 다음 두 줄에는 n개의 정수가 주어지며, 각 정수는 그 위치에 해당하는 스티커의 점수이다. 연속하는 두 정수 사이에는 빈 칸이 하나 있다. 점수는 0보다 크거나 같고, 100보다 작거나 같은 정수이다. 

출력

각 테스트 케이스 마다, 2n개의 스티커 중에서 두 변을 공유하지 않는 스티커 점수의 최댓값을 출력한다.

예제 입력과 출력

알고리즘 분류

다이나믹 프로그래밍

정답

import sys
input= lambda : sys.stdin.readline().strip()

t=int(input())

while t:
    t -= 1
    n=int(input())
    dp=[[0]*n for i in range(2)]
    a=[list(map(int,input().split())) for i in range(2)]

    dp[0][0] = a[0][0]
    dp[1][0] = a[1][0]
    dp[0][1] = dp[1][0] + a[0][1]
    dp[1][1] = dp[0][0] + a[1][1]

    for i in range(2,n):
        dp[0][i] = max(dp[1][i-2], dp[1][i-1]) + a[0][i]
        dp[1][i] = max(dp[0][i-2], dp[0][i-1]) + a[1][i]
    
    print(max(dp[0][n-1], dp[1][n-1]))

스티커는 항상 2행 n열로 배치된다는 점에 주목해서 문제를 풀었습니다.

dp[a][n] : a는 행, n은 열

n = 5인 경우

dp[a][n]이 가능한 경우입니다.

dp[0][0] : a[0][0]

dp[1][0] : a[1][0]

dp[0][1] : dp[1][0] + a[0][1]

dp[1][1] : dp[0][0] + a[1][1]

dp[0][2] : dp[1][1] + a[0][2] or dp[1][0] + a[0][2]

dp[1][2] : dp[0][1] + a[1][2] or dp[0][0] + a[1][2]

dp[0][3] : dp[1][2] + a[0][3] or dp[1][1] + a[0][3]

dp[1][3] : dp[0][2] + a[1][3] or dp[0][1] + a[1][3]

위를 통해 점화식을 도출할 수 있습니다. ( i는 2 이상)

dp[0][i] = max(dp[1][i-2], dp[1][i-1]) + a[0][i]
dp[1][i] = max(dp[0][i-2], dp[0][i-1]) + a[1][i]

백준 알고리즘 9465번 : https://www.acmicpc.net/problem/9465

문제

오르막 수는 수의 자리가 오름차순을 이루는 수를 말한다. 이때, 인접한 수가 같아도 오름차순으로 친다.

예를 들어, 2234와 3678, 11119는 오르막 수이지만, 2232, 3676, 91111은 오르막 수가 아니다.

수의 길이 N이 주어졌을 때, 오르막 수의 개수를 구하는 프로그램을 작성하시오. 수는 0으로 시작할 수 있다.

입력

첫째 줄에 N (1 ≤ N ≤ 1,000)이 주어진다.

출력

첫째 줄에 길이가 N인 오르막 수의 개수를 10,007로 나눈 나머지를 출력한다.

예제 입력과 출력

알고리즘 분류

다이나믹 프로그래밍 

정답

import sys
input= lambda : sys.stdin.readline().strip()

n=int(input())
dp=[[0]*10 for i in range(1001)]

for i in range(1,1001): # 0으로 끝나는 수 (항상 1개 : ex. 0, 000, 00000)
    dp[i][0] = 1

for i in range(1,10): # n=1인 경우
    dp[1][i] = 1

for i in range(2,n+1):
    for j in range(1,10):
        dp[i][j] = (dp[i][j-1] + dp[i-1][j]) % 10007

print(sum(dp[n]) % 10007)

n = 1 인 경우의 오르막 수 : 9개

n = 2 인 경우의 오르막 수 : 55개

n = 3 인 경우의 오르막 수 : 220개

0으로 끝나는 수 : 000 (1개)

1로 끝나는 수 : 001 011 111 (3개)

2로 끝나는 수 : 002 012 022 112 122 222 (6개)

.

.

.

9로 끝나는 수는 55개입니다.

위를 통해 보면 오르막 수에서 끝나는 수의 개수를 통해 점화식을 확인할 수 있습니다.

n : n 자리수

y : y로 끝나는 수

dp[n][y] = dp[n][y-1] + dp[n-1][y]

dp의 형태

n = 1  : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

n = 2  : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

n = 3  : 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55

백준 알고리즘 11057번 : https://www.acmicpc.net/problem/11057

문제

정수 4를 1, 2, 3의 합으로 나타내는 방법은 총 3가지가 있다. 합을 나타낼 때는 수를 1개 이상 사용해야 한다. 단, 같은 수를 두 번 이상 연속해서 사용하면 안 된다.

• 1+2+1
• 1+3
• 3+1

정수 n이 주어졌을 때, n을 1, 2, 3의 합으로 나타내는 방법의 수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 테스트 케이스의 개수 T가 주어진다. 각 테스트 케이스는 한 줄로 이루어져 있고, 정수 n이 주어진다. n은 양수이며 100,000보다 작거나 같다.

출력

각 테스트 케이스마다, n을 1, 2, 3의 합으로 나타내는 방법의 수를 1,000,000,009로 나눈 나머지를 출력한다.

예제 입력과 출력

정답

import sys
input= lambda : sys.stdin.readline().strip()

t=int(input())

dp=[[0]*4 for i in range(100001)]
dp[1][1]=1
dp[2][2]=1
dp[3][3]=1
dp[3][1]=1
dp[3][2]=1

m=1000000009 

while t:
    t -= 1
    a=int(input())
    
    if sum(dp[a]) != 0:
        print(sum(dp[a]) % m)
        continue
    
    for i in range(4,a+1):
        dp[i][1] = (dp[i-1][2] + dp[i-1][3]) % m
        dp[i][2] = (dp[i-2][1] + dp[i-2][3]) % m
        dp[i][3] = (dp[i-3][1] + dp[i-3][2]) % m
    
    print(sum(dp[a]) % m)

n = 1 이면 1

n = 2 이면 2

n = 3 이면 1+2, 2+1, 3

n = 4 이면 1+3, 3+1, 1+2+1

n = 5 이면 2+3, 3+2, 1+3+1, 2+1+2

백준알고리즘 - 9095번 1, 2, 3 더하기 - 파이썬(Python)

백준알고리즘 - 15988번 1, 2, 3 더하기 3 - 파이썬(Python)

위 두문제의 응용 문제입니다.

백준 알고리즘 15990번 : https://www.acmicpc.net/problem/15990

문제

어떤 자연수 N은 그보다 작거나 같은 제곱수들의 합으로 나타낼 수 있다. 예를 들어 11=32+12+12(3개 항)이다. 이런 표현방법은 여러 가지가 될 수 있는데, 11의 경우 11=22+22+12+12+12(5개 항)도 가능하다. 이 경우, 수학자 숌크라테스는 “11은 3개 항의 제곱수 합으로 표현할 수 있다.”라고 말한다. 또한 11은 그보다 적은 항의 제곱수 합으로 표현할 수 없으므로, 11을 그 합으로써 표현할 수 있는 제곱수 항의 최소 개수는 3이다.

주어진 자연수 N을 이렇게 제곱수들의 합으로 표현할 때에 그 항의 최소개수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 자연수 N이 주어진다. (1 ≤ N ≤ 100,000)

출력

주어진 자연수를 제곱수의 합으로 나타낼 때에 그 제곱수 항의 최소 개수를 출력한다.

예제 입력과 출력

알고리즘 분류

다이나믹 프로그래밍
냅색

정답

import sys
input= lambda : sys.stdin.readline().strip()

n=int(input())
dp=[0]*(n+1)

a=[i**2 for i in range(1, 317)]

for i in range(1,n+1):
    s=[]
    
    for j in a:
        if i < j:
            break
        s.append(dp[i-j])
        
    dp[i] = min(s) + 1

print(dp[n])

i보다 j가 작거나 같은 제곱수들이라고 생각하면 점화식은 dp[i]=min(dp[i-j])+1 입니다.

백준 알고리즘 1699번 : https://www.acmicpc.net/problem/1699

문제

수열 A가 주어졌을 때, 가장 긴 감소하는 부분 수열을 구하는 프로그램을 작성하시오.

예를 들어, 수열 A = {10, 30, 10, 20, 20, 10} 인 경우에 가장 긴 감소하는 부분 수열은 A = {10, 30, 10, 20, 20, 10} 이고, 길이는 3이다.

입력

첫째 줄에 수열 A의 크기 N (1 ≤ N ≤ 1,000)이 주어진다.

둘째 줄에는 수열 A를 이루고 있는 Ai가 주어진다. (1 ≤ Ai ≤ 1,000)

출력

첫째 줄에 수열 A의 가장 긴 감소하는 부분 수열의 길이를 출력한다.

예제 입력과 출력

알고리즘 분류

다이나믹 프로그래밍 

정답

import sys
input= lambda : sys.stdin.readline().strip()

n=int(input())
a=list(map(int,input().split()))
dp=[1]*n

for i in range(n-1,-1,-1):
    for j in range(n-1,i-1,-1):
        if a[i] > a[j]:
            dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1)
            
print(max(dp))

수열 A = {10, 20, 10, 30, 20, 50} 이라면
부분 수열은 {10}, {10, 20}, {10, 20, 30}, {10, 20, 30, 20} 과 같은 것이 있습니다.
이 중 부분수열이 전부 감소하는 요소로 된 것을 감소하는 부분 수열이라 합니다.
가장 긴 감소하는 부분 수열은 부분수열 중 모두 감소하는 요소로 된 길이가 긴 부분수열입니다.

백준 11053번에서의 범위를 반대로 해주면 되는 문제입니다.

[알고리즘/백준알고리즘] - 백준알고리즘 - 11053번 가장 긴 증가하는 부분 수열 - 파이썬(Python)

백준 알고리즘 : https://www.acmicpc.net/problem/11722

문제

정수 4를 1, 2, 3의 합으로 나타내는 방법은 총 7가지가 있다. 합을 나타낼 때는 수를 1개 이상 사용해야 한다.

• 1+1+1+1
• 1+1+2
• 1+2+1
• 2+1+1
• 2+2
• 1+3
• 3+1

정수 n이 주어졌을 때, n을 1, 2, 3의 합으로 나타내는 방법의 수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 테스트 케이스의 개수 T가 주어진다. 각 테스트 케이스는 한 줄로 이루어져 있고, 정수 n이 주어진다. n은 양수이며 1,000,000보다 작거나 같다.

출력

각 테스트 케이스마다, n을 1, 2, 3의 합으로 나타내는 방법의 수를 1,000,000,009로 나눈 나머지를 출력한다.

예제 입력과 출력

정답

import sys
input= lambda : sys.stdin.readline().strip()

t=int(input())
m=[0]*1000001
m[1]=1
m[2]=2
m[3]=4

while t:
    t -= 1
    a=int(input())
    if a <= 3:
        print(m[a])
    else:
        if m[a] != 0:
            print(m[a])
            continue
        for i in range(4,a+1):
            if m[i] != 0:
                continue
            else:
                m[i]= (m[i-1]+m[i-2]+m[i-3]) % 1000000009
        print(m[a])

백준알고리즘 - 9095번 1, 2, 3 더하기 - 파이썬(Python)

위 문제의 응용 문제입니다.

백준 알고리즘 15988번 : https://www.acmicpc.net/problem/15988