IT-garden

문제

N×N 게임판에 수가 적혀져 있다. 이 게임의 목표는 가장 왼쪽 위 칸에서 가장 오른쪽 아래 칸으로 규칙에 맞게 점프를 해서 가는 것이다.

각 칸에 적혀있는 수는 현재 칸에서 갈 수 있는 거리를 의미한다. 반드시 오른쪽이나 아래쪽으로만 이동해야 한다. 0은 더 이상 진행을 막는 종착점이며, 항상 현재 칸에 적혀있는 수만큼 오른쪽이나 아래로 가야 한다. 한 번 점프를 할 때, 방향을 바꾸면 안 된다. 즉, 한 칸에서 오른쪽으로 점프를 하거나, 아래로 점프를 하는 두 경우만 존재한다.

가장 왼쪽 위 칸에서 가장 오른쪽 아래 칸으로 규칙에 맞게 이동할 수 있는 경로의 개수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 게임 판의 크기 N (4 ≤ N ≤ 100)이 주어진다. 그 다음 N개 줄에는 각 칸에 적혀져 있는 수가 N개씩 주어진다. 칸에 적혀있는 수는 0보다 크거나 같고, 9보다 작거나 같은 정수이며, 가장 오른쪽 아래 칸에는 항상 0이 주어진다.

출력

가장 왼쪽 위 칸에서 가장 오른쪽 아래 칸으로 문제의 규칙에 맞게 갈 수 있는 경로의 개수를 출력한다. 경로의 개수는 263-1보다 작거나 같다.

예제 입력과 출력

알고리즘 분류

다이나믹 프로그래밍

힌트

정답

import sys
input = lambda : sys.stdin.readline().strip()

n=int(input())
a=[list(map(int,input().split())) for i in range(n)]

dp=[[0]*n for i in range(n)] # 방문 횟수 
dp[0][0]=1

for i in range(n):
    for j in range(n):
        if i == n-1 and j == n-1:
            break
        
        d=i+a[i][j] # 아래쪽
        r=j+a[i][j] # 오른쪽 
        
        if d < n: 
            dp[d][j] += dp[i][j]
        if r < n:
            dp[i][r] += dp[i][j]

print(dp[n-1][n-1])

dp[i][j]는 해당 위치를 방문할 수 있는 횟수입니다.

백준 알고리즘 1890번 : https://www.acmicpc.net/problem/1890

문제

정수 4를 1, 2, 3의 합으로 나타내는 방법은 총 4가지가 있다. 합을 나타낼 때는 수를 1개 이상 사용해야 한다. 합을 이루고 있는 수의 순서만 다른 것은 같은 것으로 친다.

• 1+1+1+1
• 2+1+1 (1+1+2, 1+2+1)
• 2+2
• 1+3 (3+1)

정수 n이 주어졌을 때, n을 1, 2, 3의 합으로 나타내는 방법의 수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 테스트 케이스의 개수 T가 주어진다. 각 테스트 케이스는 한 줄로 이루어져 있고, 정수 n이 주어진다. n은 양수이며 10,000보다 작거나 같다.

출력

각 테스트 케이스마다, n을 1, 2, 3의 합으로 나타내는 방법의 수를 출력한다.

예제 입력과 출력

정답

import sys
input= lambda : sys.stdin.readline().strip()

t=int(input())
dp=[[0,0,0,0] for i in range(10001)]

dp[1][1]=1

dp[2][1]=1
dp[2][2]=1

dp[3][1]=1
dp[3][2]=1
dp[3][3]=1

for i in range(4,10001):
    dp[i][1] = dp[i-1][1]
    dp[i][2] = dp[i-2][1] + dp[i-2][2]
    dp[i][3] = dp[i-3][1] + dp[i-3][2] + dp[i-3][3]

while t:
    t -= 1
    print(sum(dp[int(input())]))

dp[i][1] : 끝의 자리가 1인 경우의 수
dp[i][2] : 끝의 자리가 2인 경우의 수
dp[i][3] : 끝의 자리가 3인 경우의 수

dp[i][1]은 dp[i-1][1] 뒤에 1을 추가합니다.
dp[i][2]은 dp[i-2][1], dp[i-2][2] 뒤에 2을 추가합니다.
dp[i][3]은 dp[i-3][1], dp[i-3][2], dp[i-3][3] 뒤에 3을 추가합니다.

백준알고리즘 - 9095번 1, 2, 3 더하기 - 파이썬(Python)

백준알고리즘 - 15988번 1, 2, 3 더하기 3 - 파이썬(Python)

백준알고리즘 - 15990번 1, 2, 3 더하기 5 - 파이썬(Python)

위 세문제와 관련 있는 문제입니다.

백준 알고리즘 15989번 : https://www.acmicpc.net/problem/15989

문제

0부터 N까지의 정수 K개를 더해서 그 합이 N이 되는 경우의 수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

덧셈의 순서가 바뀐 경우는 다른 경우로 센다(1+2와 2+1은 서로 다른 경우). 또한 한 개의 수를 여러 번 쓸 수도 있다.

입력

첫째 줄에 두 정수 N(1 ≤ N ≤ 200), K(1 ≤ K ≤ 200)가 주어진다.

출력

첫째 줄에 답을 1,000,000,000으로 나눈 나머지를 출력한다.

예제 입력과 출력

알고리즘 분류

다이나믹 프로그래밍 

정답

import sys
input= lambda : sys.stdin.readline().strip()

n,k=map(int,input().split())

dp=[[0]*201 for i in range(201)]

for i in range(201):
    dp[1][i]=1
    dp[2][i]=i+1

for i in range(2,201):
    dp[i][1]=i
    for j in range(2,201):
        dp[i][j]=(dp[i][j-1]+dp[i-1][j] )% 1000000000

print(dp[k][n])

n과 k의 관계에 대해 생각해보았습니다.

k에 상관없이 n이 1인 경우에 합이 n이 되는 경우의 수는 k개입니다.

ex) k = 2 이고 n = 1 이면 (0, 1) (1, 0) 2개

ex) k = 4 이고 n = 1 이면 (0, 0, 0, 1) (0, 0, 1, 0) (0, 1, 0, 0) (1, 0, 0, 0) 4개

k = 1 이면 n에 상관없이 합이 n이 되는 경우의 수는 1개입니다. (n 자신 1개)

k = 2 이면

위의 예제에서처럼 n = 20 이면 21개입니다.

(10,10) 1개와

(0, 20) (1, 19) (2, 18) (3, 17) (4, 16) (5, 15) (6, 14) (7, 13) (8, 12) (9, 11) 10가지를 순서 바뀐 경우로 20가지

20 + 1 = 21

n = 3 이면 (3, 0) (1, 2) 2가지를 순서 바뀐 경우로 4가지, 총 4가지입니다.

이를 통해 k = 2 이면 합이 n이 되는 경우의 수는 n+1개입니다.

k = 3 이면

n = 2 일 때 (0, 1, 1) (1, 1, 0) (1, 0, 1) (0, 0, 2) (0, 2, 0) (2, 0, 0) 6개입니다.

n = 3 일 때 (0, 0, 3) (0, 3, 0) (3, 0, 0) (0, 1, 2) (0, 2, 1) (1, 0, 2) (1, 2, 0) (2, 0, 1) (2, 1, 0) (1, 1, 1) 10개입니다.

이를 표로 표현하면 다음과 같습니다.

이를 통해 점화식 dp[i][j] = dp[i][j-1]+dp[i-1][j] (i, j가 2 이상인 경우) 를 도출할 수 있습니다. 

백준 알고리즘 2225번 : https://www.acmicpc.net/problem/2225

문제

n개의 정수로 이루어진 임의의 수열이 주어진다. 우리는 이 중 연속된 몇 개의 수를 선택해서 구할 수 있는 합 중 가장 큰 합을 구하려고 한다. 단, 수는 한 개 이상 선택해야 한다. 또, 수열에서 수를 하나 제거할 수 있다. (제거하지 않아도 된다)

예를 들어서 10, -4, 3, 1, 5, 6, -35, 12, 21, -1 이라는 수열이 주어졌다고 하자. 여기서 수를 제거하지 않았을 때의 정답은 12+21인 33이 정답이 된다.

만약, -35를 제거한다면, 수열은 10, -4, 3, 1, 5, 6, 12, 21, -1이 되고, 여기서 정답은 10-4+3+1+5+6+12+21인 54가 된다.

입력

첫째 줄에 정수 n(1 ≤ n ≤ 100,000)이 주어지고 둘째 줄에는 n개의 정수로 이루어진 수열이 주어진다. 수는 -1,000보다 크거나 같고, 1,000보다 작거나 같은 정수이다.

출력

첫째 줄에 답을 출력한다.

예제 입력과 출력

정답

import sys
input= lambda : sys.stdin.readline().strip()

n=int(input())
a=list(map(int,input().split()))
dp=[[0,0] for i in range(n)]
dp[0][0]=a[0]

m=-100000000

if n > 1:
    for i in range(1,n):
        dp[i][0]=max(dp[i-1][0]+a[i], a[i])
        dp[i][1]=max(dp[i-1][0], dp[i-1][1]+a[i])
        m=max(m,dp[i][0],dp[i][1])
    print(m)
else:
    print(dp[0][0])

dp[i][0] : 수열에서 수를 제거하지 않은 경우
dp[i][1] : 수열에서 수를 제거한 경우

n = 1인 경우는 dp[0][0]을 출력하고
n > 1인 경우에 수열에서 수를 제거하는 경우와 제거하지 않는 경우를 생각합니다.

백준알고리즘 - 1912번 연속합 - 파이썬(Python)

위의 응용문제입니다.

백준 알고리즘 13398번 : https://www.acmicpc.net/problem/13398

문제

수열 A가 주어졌을 때, 가장 긴 증가하는 부분 수열을 구하는 프로그램을 작성하시오.

예를 들어, 수열 A = {10, 20, 10, 30, 20, 50} 인 경우에 가장 긴 증가하는 부분 수열은 A = {10, 20, 10, 30, 20, 50} 이고, 길이는 4이다.

입력

첫째 줄에 수열 A의 크기 N (1 ≤ N ≤ 1,000)이 주어진다.

둘째 줄에는 수열 A를 이루고 있는 Ai가 주어진다. (1 ≤ Ai ≤ 1,000)

출력

첫째 줄에 수열 A의 가장 긴 증가하는 부분 수열의 길이를 출력한다.

둘째 줄에는 가장 긴 증가하는 부분 수열을 출력한다. 그러한 수열이 여러가지인 경우 아무거나 출력한다.

예제 입력과 출력

정답

from collections import deque
import sys
input= lambda : sys.stdin.readline().strip()

n=int(input())
a=list(map(int,input().split()))
dp=[1]*n

for i in range(n):
    for j in range(i):
        if a[i] > a[j] and dp[i] < dp[j]+1:
            dp[i] = dp[j]+1

ind=dp.index(max(dp))
c=dp[ind]
de=deque()

for i in range(ind-1,-1,-1):
    if c == dp[i]+1:
        c = dp[i]
        de.appendleft(a[i])

de.append(a[ind])

print(max(dp))
print(' '.join(map(str,de)))

가장 긴 증가하는 부분 수열의 길이를 구해 해당 길이의 위치를 구합니다.
위치를 인덱스를 통해 찾고 그 위치부터 dp 배열을 검사해 가장 긴 증가하는 부분 수열을 구합니다.

백준알고리즘 - 11053번 가장 긴 증가하는 부분 수열 - 파이썬(Python)

위의 응용문제입니다.

백준 알고리즘 14002번 : www.acmicpc.net/problem/14002

문제

상근이의 여동생 상냥이는 문방구에서 스티커 2n개를 구매했다. 스티커는 그림 (a)와 같이 2행 n열로 배치되어 있다. 상냥이는 스티커를 이용해 책상을 꾸미려고 한다.

상냥이가 구매한 스티커의 품질은 매우 좋지 않다. 스티커 한 장을 떼면, 그 스티커와 변을 공유하는 스티커는 모두 찢어져서 사용할 수 없게 된다. 즉, 뗀 스티커의 왼쪽, 오른쪽, 위, 아래에 있는 스티커는 사용할 수 없게 된다.

모든 스티커를 붙일 수 없게된 상냥이는 각 스티커에 점수를 매기고, 점수의 합이 최대가 되게 스티커를 떼어내려고 한다. 먼저, 그림 (b)와 같이 각 스티커에 점수를 매겼다. 상냥이가 뗄 수 있는 스티커의 점수의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하시오. 즉, 2n개의 스티커 중에서 점수의 합이 최대가 되면서 서로 변을 공유 하지 않는 스티커 집합을 구해야 한다.

위의 그림의 경우에 점수가 50, 50, 100, 60인 스티커를 고르면, 점수는 260이 되고 이 것이 최대 점수이다. 가장 높은 점수를 가지는 두 스티커 (100과 70)은 변을 공유하기 때문에, 동시에 뗄 수 없다.

입력

첫째 줄에 테스트 케이스의 개수 T가 주어진다. 각 테스트 케이스의 첫째 줄에는 n (1 ≤ n ≤ 100,000)이 주어진다. 다음 두 줄에는 n개의 정수가 주어지며, 각 정수는 그 위치에 해당하는 스티커의 점수이다. 연속하는 두 정수 사이에는 빈 칸이 하나 있다. 점수는 0보다 크거나 같고, 100보다 작거나 같은 정수이다. 

출력

각 테스트 케이스 마다, 2n개의 스티커 중에서 두 변을 공유하지 않는 스티커 점수의 최댓값을 출력한다.

예제 입력과 출력

알고리즘 분류

다이나믹 프로그래밍

정답

import sys
input= lambda : sys.stdin.readline().strip()

t=int(input())

while t:
    t -= 1
    n=int(input())
    dp=[[0]*n for i in range(2)]
    a=[list(map(int,input().split())) for i in range(2)]

    dp[0][0] = a[0][0]
    dp[1][0] = a[1][0]
    dp[0][1] = dp[1][0] + a[0][1]
    dp[1][1] = dp[0][0] + a[1][1]

    for i in range(2,n):
        dp[0][i] = max(dp[1][i-2], dp[1][i-1]) + a[0][i]
        dp[1][i] = max(dp[0][i-2], dp[0][i-1]) + a[1][i]
    
    print(max(dp[0][n-1], dp[1][n-1]))

스티커는 항상 2행 n열로 배치된다는 점에 주목해서 문제를 풀었습니다.

dp[a][n] : a는 행, n은 열

n = 5인 경우

dp[a][n]이 가능한 경우입니다.

dp[0][0] : a[0][0]

dp[1][0] : a[1][0]

dp[0][1] : dp[1][0] + a[0][1]

dp[1][1] : dp[0][0] + a[1][1]

dp[0][2] : dp[1][1] + a[0][2] or dp[1][0] + a[0][2]

dp[1][2] : dp[0][1] + a[1][2] or dp[0][0] + a[1][2]

dp[0][3] : dp[1][2] + a[0][3] or dp[1][1] + a[0][3]

dp[1][3] : dp[0][2] + a[1][3] or dp[0][1] + a[1][3]

위를 통해 점화식을 도출할 수 있습니다. ( i는 2 이상)

dp[0][i] = max(dp[1][i-2], dp[1][i-1]) + a[0][i]
dp[1][i] = max(dp[0][i-2], dp[0][i-1]) + a[1][i]

백준 알고리즘 9465번 : https://www.acmicpc.net/problem/9465